歓談
こんばんわ！今日は数列をやっていくよ！みんなは数列得意かな？今日は数列の中でも数が等間隔に並んでいる等差数列についてやるから一緒にがんばっていこうね。
今日の目標
今日の目標の問題はこれだよ！
問題 次の数列の和はいくらかな
6、9、12、15、18……96、99
例題
まずは問題を解く前に等差数列について簡単に説明するよ。
等差数列とは…隣り合う２つの数字の差が常に同じ数である数列のこと！
例えば「1,3,5,7,9…」は差が2の等差数列だよ。
ここで用語解説！
●隣り合う数字の差のことを公差という(今回は2)
●並んでいる数字のことを項という(初項が1、第2項が3、第5項が9)
問題文にもよく出てくる言葉だから覚えていこうね！
次に等差数列の問題で使う公式について、かえでに説明してもらうよ！
この等差数列を使って説明していくね。
1、5、9、13、17、21、25、29…
まず規則性に注目すると公差が4になっているよ。
第2項 5＝1＋4×1
第3項 9＝1＋4＋4＝4＋4×2
第4項 13＝1＋4＋4＋4＝1＋4×3
第5項 17＝1＋4＋4＋4＋4＝1＋4×4
ここからなにがわかるかというと…
「第N項の数＝初項＋公差×(N－1)」
この公式は大事だから暗記しちゃお！！
例えば上の例で第4項の数は？って聞かれたら
第4項の数＝1＋4×(4－1)＝13となるよ！
ひとつめの公式が出てきたから、慣れるためにいくつか例題を解いてみようね。
(1)2,5,8,11…この数列の10番目の数はなにかな？
(2)3,7,11,15,…この数列で59は何番目の数かな？
(1)
N番目の数＝初項＋公差×(N－1)
今回は初項2、公差3、N＝10を代入して
10番目の数＝2＋3×(10－1)＝29
(2)
N番目の数＝初項＋公差×(N－1)
N番目の数＝59、初項3、公差4を代入して
59＝3＋4×(N－1)
N＝(59－3)÷4＋1＝15より15番目
Nっていうのが馴染みなければ□にしちゃっても全然大丈夫そうだね。
練習問題
では次の問題に進んでみよう。次は等差数列の和の公式が登場するよ！そこまで難しい公式じゃないから安心してね。
例えばこんな数列があったとしよっか。
2,4,6,8,10,12,14,16
この数列の和を求めてって言われた時に、最初から全部足すとちょっと大変そう…こういう時は工夫してみよう！
左端と右端の数字を順にたしていくと
2＋16＝18
4＋14＝18
6＋12＝18
8＋10＝18
18×4＝72と少し簡単に出せるようになるよね。
いまやったことを文字でかいてみると
等差数列の和＝(最初の数＋最後の数)×ペアの数
ペアは数字2つで1組できるから、項数を2でわると出せるから公式にすると
等差数列の和＝(最初の数＋最後の数)×項数÷2
こうなるよ！この公式から公差は関係ないこともわかるね。
今回も公式になれるためにいくつか練習してみようね。もちろん公式は見ながらで大丈夫だよ。どんどん書いて覚えちゃおうね。
(1)2、7、12、17、22、27、32、37、42、47の和はいくらかな
(2)5、9、13、17、21、25、29、33、37の和はいくらかな
(1)
等差数列の和＝(最初の数＋最後の数)×項数÷2
最後の数2、最後の数47、項数10個を代入して
(2＋47)×10÷2＝245
(2)
等差数列の和＝(最初の数＋最後の数)×項数÷2
最後の数5、最後の数37、項数9個を代入して
(5＋37)×9÷2＝189
項数が奇数になるとペアが作れない？っておもうかもだけど公式はそのまま使えるから大丈夫だよ！
(2)の奇数個でもなんで公式が使えるかの説明を一応しておくね。ややこしい話は嫌い！っていう子はとばしても全然大丈夫だよ。
(説明)
今回、まず42のペアが4個できて21があまる。ここで21は42の半分だからペア0.5個分と考えることができるよ！そこで4個と0.5個を足すとペアが4.5個になるんだ。
ピンと来たかな？項数9個を2で割った数も4.5だから同じだね！
項数が奇数のときは、真ん中の余った数がペア0.5個になるからそのまま公式を使っても問題ないよ！
今日の目標(解説)
2つの公式がわかったところで今日の目標をやってみよー！公式をかいて求めていけばきっとできるよ。
問題
次の数列の和はいくらかな
6、9、12、15、18……96、99
(ヒント：まずは項数を求めよう)
(解説)
等差数列の和＝(最初の数＋最後の数)×項数÷2
最初の数6、最後の数99、項数□
項数がわからないから99が何番目か調べよう！
N番目の数＝初項＋公差×(N－1)
N番目の数＝99、初項6、公差3を代入して
99＝6＋3×(N－1)
N＝(99－6)÷3＋1＝32
これで項数が32とわかったので和の公式に代入すると
(6＋99)×32÷2＝1680
できた！
11日目終わり
N番目の数＝初項＋公差×(N－1)
等差数列の和＝(最初の数＋最後の数)×項数÷2
最初の数＝初項、項数＝Nだから統一して覚えちゃっても大丈夫だね！
それじゃあ今日はここまで！明日も数列だから来てくれるとうれしいな。ばいばーい。
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